집합의 남은 부분을 다뤄보고 함수와 관계 (Relation)에 대해 정리한다.
Set (집합)
하나의 집합은 여러 부분집합으로 나눌 수 있는데, \(S_1, S_2, ... , S_n\)은 집합 S의 부분집합이면서 다음 조건을 만족한다고 하자.
- 부분집합 \(S_1, S_2, ... , S_n\)는 모두 disjoint한다. (다시 말해, 어떤 두 집합도 공통원소를 가지지 않는다)
- \[S_1 \cap S_2 \cap ... \cap S_n = S\]
- \(S_i\)는 모두 공집합이 아니다.
이 경우 \(S_1, S_2, ... , S_n\)은 집합 S의 Partition이라고 한다.
Functions and Relations (함수와 관계)
함수는 한 집합의 원소를 다른 집합의 한 원소로 대응하는 교칙이다. 이 때 앞의 집합을 정의역(Domain), 뒤의 집합을 치역(Range)이라 한다.
\[\begin{align*} f : S_1 \rightarrow S_2 \\ \end{align*}\]위 식에서 f의 정의역은 \(S_1\)의 부분집합이고, f의 치역은 \(S_2\)의 부분집합이다. 만약 \(S_1\) 전체가 f의 정의역인 경우, f는 집합 \(S_1\)에 대해 total function이라고 한다. 그렇지 않은 경우, f는 partial funcion이라고 한다.